Matemātika programmētājiem: varbūtības teorija
Ivans Kamišāns
Daži programmētāji pēc tam, kad ir strādājuši pie parasto komerciālo lietojumprogrammu izstrādes, domā par mašīnmācības apguvi un kļūšanu par datu analītiķi. Bieži vien viņi nesaprot, kāpēc noteiktas metodes darbojas, un vairums mašīnmācīšanās metožu šķiet maģiski. Faktiski mašīnmācīšanās ir balstīta uz matemātisko statistiku, un tā, savukārt, ir balstīta uz varbūtību teoriju. Tāpēc šajā rakstā mēs pievērsīsim uzmanību varbūtības teorijas pamatjēdzieniem: pieskarsimies varbūtības, sadalījuma definīcijām un analizēsim dažus vienkāršus piemērus.
Jūs varat zināt, ka varbūtības teorija ir nosacīti sadalīta 2 daļās. Diskrētā varbūtības teorija pēta parādības, kuras var aprakstīt ar sadalījumu ar ierobežotu (vai saskaitāmu) iespējamo uzvedības veidu (kauliņu metieni, monētas) skaitu. Nepārtrauktā varbūtības teorija pēta parādības, kas sadalītas kādā blīvā kopā, piemēram, segmentā vai aplī.
Ir iespējams aplūkot varbūtību teorijas priekšmetu ar vienkāršu piemēru. Iedomājieties sevi kā šāvēja izstrādātāju. Šī žanra spēļu izstrādes neatņemama sastāvdaļa ir šaušanas mehānika. Ir skaidrs, ka šāvējs, kurā visi ieroči šauj absolūti precīzi, spēlētājus maz interesēs. Tāpēc ierocim ir jāpievieno izplatība. Taču vienkārša ieroču trāpījuma punktu nejaušināšana neļaus precizēt, tāpēc būs grūti pielāgot spēles līdzsvaru. Tajā pašā laikā, izmantojot nejaušos mainīgos un to sadalījumus, varat analizēt, kā ierocis darbosies ar noteiktu izplatību, un palīdzēt veikt nepieciešamās korekcijas.
Elementāro rezultātu telpa
Pieņemsim, ka no kāda nejauša eksperimenta, ko mēs varam atkārtot vairākas reizes (piemēram, monētas mešana), mēs varam iegūt kādu formalizējamu informāciju (galvas vai astes). Šo informāciju sauc par elementāru iznākumu, un ir ieteicams ņemt vērā visu elementāro rezultātu kopu, ko bieži apzīmē ar burtu Ω (Omega).
Šīs telpas struktūra ir pilnībā atkarīga no eksperimenta rakstura. Piemēram, ja ņemam vērā šaušanu pa pietiekami lielu riņķveida mērķi, elementāru rezultātu telpa būs aplis, ērtības labad, kas novietots ar centru uz nulli, un rezultāts būs punkts šajā aplī.
Turklāt viņi ņem vērā elementāru rezultātu kopas - notikumus (piemēram, trāpījums "desmitniekā" ir koncentrisks aplis ar mazu rādiusu ar mērķi). Diskrētajā gadījumā viss ir pavisam vienkārši: mēs varam iegūt jebkuru notikumu, ieskaitot vai izslēdzot elementārus rezultātus ierobežotā laikā. Tomēr nepārtrauktā gadījumā viss ir daudz sarežģītāk: mums ir vajadzīga pietiekami laba kopu saime, ko apsvērt, ko sauc par algebru, pēc analoģijas ar vienkāršiem reāliem skaitļiem, kurus var pievienot, atņemt, dalīt un reizināt. Kopas algebrā var krustot un apvienot, un darbības rezultāts būs algebrā. Tas ir ļoti svarīgs matemātikas īpašums, kas slēpjas aiz visiem šiem jēdzieniem. Minimālā saime sastāv tikai no divām kopām – tukšā kopuma un elementāru rezultātu telpas.
Mērījums un varbūtība
Varbūtība ir veids, kā izdarīt secinājumus par ļoti sarežģītu objektu uzvedību, nesaprotot, kā tie darbojas. Tādējādi varbūtība tiek definēta kā notikuma funkcija (no tās ļoti labās kopu saimes), kas atgriež skaitli - kaut kādu raksturlielumu tam, cik bieži šāds notikums var notikt realitātē. Precīzāk, matemātiķi vienojās, ka šim skaitlim jābūt no nulles līdz vienam. Turklāt šai funkcijai tiek izvirzītas prasības: neiespējama notikuma varbūtība ir nulle, visas rezultātu kopas varbūtība ir vienota, un divu neatkarīgu notikumu (disjunktu kopu) apvienošanas varbūtība ir vienāda ar varbūtību summu. . Vēl viens varbūtības nosaukums ir varbūtības mērs. Visbiežāk izmantotais Lēbesga mērs, kas vispārina garuma, laukuma, tilpuma jēdzienus jebkurām dimensijām (n-dimensijas tilpums), un tādējādi tas ir piemērojams plašai kopu klasei.
Kopā tiek saukta elementāru rezultātu kopas, kopu saimes un varbūtības mēra kopa. varbūtības telpa. Apskatīsim, kā mēs varam izveidot varbūtības telpu šaušanas mērķim piemērā.
Apsveriet iespēju šaut uz lielu apaļu mērķi ar rādiusu R, kuru nevar nepamanīt. Kā elementāru notikumu kopu mēs ievietojam apli, kura centrs ir koordinātu ar rādiusu R sākumpunkts. Tā kā mēs izmantosim apgabalu (Lēbesga mērs divdimensiju kopām), lai aprakstītu notikuma iespējamību, mēs izmantosim izmērāmo (kurai šis mērs pastāv) kopu saimi.
Piezīme Patiesībā šis ir tehnisks jautājums, un vienkāršās problēmās mēra un komplektu saimes noteikšanas procesam nav īpaša loma. Bet ir jāsaprot, ka šie divi objekti pastāv, jo daudzās grāmatās par varbūtību teoriju teorēmas sākas ar vārdiem: “ Lai (Ω,Σ,P) ir varbūtības telpa…».
Kā minēts iepriekš, visas elementāro rezultātu telpas varbūtībai jābūt vienādai ar vienu. Apļa laukums (divdimensiju Lēbesga mērs, ko apzīmēsim ar λ 2 (A), kur A ir notikums) saskaņā ar skolā labi zināmo formulu ir π * R 2. Tad mēs varam ieviest varbūtību P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , un šī vērtība jau būs no 0 līdz 1 jebkuram notikumam A.
Ja pieņemam, ka trāpījums jebkuram mērķa punktam ir vienlīdz iespējams, šāvēja varbūtības meklēšana kādam mērķa apgabalam tiek samazināta līdz šīs kopas apgabala atrašanai (tātad mēs varam secināt, ka varbūtība trāpījums noteiktā punktā ir nulle, jo punkta laukums ir nulle).
Piemēram, mēs vēlamies zināt, kāda ir iespējamība, ka šāvējs trāpīs "desmitniekā" (notikums A – šāvējs trāpīja pa pareizo komplektu). Mūsu modelī "desmit" tiek attēlots ar apli, kura centrs ir nulle un kura rādiuss ir r. Tad varbūtība iekrist šajā aplī ir P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .
Šis ir viens no vienkāršākajiem "ģeometriskās varbūtības" problēmu variantiem - lielākajai daļai šo problēmu ir jāatrod apgabals.
nejaušie mainīgie
Nejaušais mainīgais ir funkcija, kas elementāros rezultātus pārvērš reālos skaitļos. Piemēram, aplūkotajā uzdevumā varam ieviest gadījuma lielumu ρ(ω) - attālumu no trieciena punkta līdz mērķa centram. Mūsu modeļa vienkāršība ļauj mums skaidri norādīt elementāro rezultātu telpu: Ω = (ω = (x,y) skaitļi, lai x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Tad nejaušais lielums ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Abstrakcijas līdzekļi no varbūtības telpas. Sadales funkcija un blīvums
Ir labi, ja telpas uzbūve ir labi zināma, taču patiesībā tas ne vienmēr tā ir. Pat ja telpas struktūra ir zināma, tā var būt sarežģīta. Lai aprakstītu gadījuma lielumus, ja to izteiksme nav zināma, ir sadalījuma funkcijas jēdziens, ko apzīmē ar F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Sadales funkcijai ir vairākas īpašības:
- Pirmkārt, tas ir no 0 līdz 1.
- Otrkārt, tas nesamazinās, palielinoties argumentam x.
- Treškārt, ja skaitlis -x ir ļoti liels, sadalījuma funkcija ir tuvu 0, un, ja pati x ir liela, sadalījuma funkcija ir tuvu 1.
Iespējams, pirmajā lasījumā šīs konstrukcijas jēga nav īsti skaidra. Viena no noderīgajām īpašībām - sadalījuma funkcija ļauj meklēt varbūtību, ka vērtība ņem vērtību no intervāla. Tātad, P (nejaušais mainīgais ξ ņem vērtības no intervāla ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Pamatojoties uz šo vienādību, mēs varam izpētīt, kā šī vērtība mainās, ja intervāla a un b robežas ir tuvas.
Pieņemsim, ka d = b-a , tad b = a+d . Un tāpēc F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Mazām d vērtībām arī iepriekš minētā atšķirība ir neliela (ja sadalījums ir nepārtraukts). Ir jēga apsvērt sakarību p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Ja pietiekami mazām d vērtībām šī attiecība maz atšķiras no kādas konstantes p ξ (a) , kas nav atkarīga no d, tad šajā brīdī nejaušā lieluma blīvums ir vienāds ar p ξ (a) .
Piezīme Lasītāji, kuri iepriekš ir saskārušies ar atvasinājuma jēdzienu, var pamanīt, ka p ξ (a) ir funkcijas F ξ (x) atvasinājums punktā a . Jebkurā gadījumā jūs varat izpētīt atvasinājuma jēdzienu rakstā, kas veltīts šai tēmai Mathprofi vietnē.
Tagad sadalījuma funkcijas nozīmi var definēt šādi: tās atvasinājums (blīvums p ξ , kuru mēs definējām iepriekš) punktā a apraksta, cik bieži nejaušais mainīgais iekritīs nelielā intervālā, kura centrs atrodas punktā a (punkta a apkārtne). salīdzinot ar citu punktu apkaimēm . Citiem vārdiem sakot, jo ātrāk pieaug sadalījuma funkcija, jo lielāka iespēja, ka šāda vērtība parādīsies nejaušā eksperimentā.
Atgriezīsimies pie piemēra. Mēs varam aprēķināt sadalījuma funkciju nejaušam mainīgajam, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , kas apzīmē attālumu no centra līdz nejauša trāpījuma punktam mērķī. Pēc definīcijas F ρ(t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Mēs varam atrast šī nejaušā lieluma blīvumu p ρ. Mēs uzreiz atzīmējam, ka ārpus intervāla tā ir nulle, kopš sadalījuma funkcija šajā intervālā nemainās. Šī intervāla beigās blīvums nav noteikts. Intervāla iekšpusē to var atrast, izmantojot atvasinājumu tabulu (piemēram, no Mathprofi vietnes) un elementārus diferenciācijas noteikumus. t 2/R2 atvasinājums ir 2t/R2. Tas nozīmē, ka mēs atradām blīvumu uz visas reālo skaitļu ass. Vēl viena noderīga blīvuma īpašība ir varbūtība, ka funkcija ņem vērtību no intervāla, tiek aprēķināta, izmantojot šī intervāla blīvuma integrāli (ar to, kas tas ir, varat iepazīties Mathprofi vietnes rakstos par pareiziem, nepareiziem, nenoteiktiem integrāļiem ). Pirmajā lasījumā funkcijas f(x) laiduma integrāli var uzskatīt par līknes trapeces laukumu. Tās malas ir Vērša ass fragments, sprauga (horizontālās koordinātu ass), vertikālie segmenti, kas savieno punktus (a,f(a)), (b,f(b)) uz līknes ar punktiem (a, 0), (b,0 ) uz x ass. Pēdējā puse ir funkcijas f grafika fragments no (a,f(a)) līdz (b,f(b)) . Var runāt par integrāli intervālā (-∞; b], kad pietiekami lielām negatīvām vērtībām a, integrāļa vērtība intervālā mainīsies niecīgi, salīdzinot ar skaitļa a izmaiņām. Integrālis virs intervāli ir definēti līdzīgi)