До сих пор мы рассматривали изменяющиеся магнитные поля, не обращая внимание на то, что является их источником. На практике чаще всего магнитные поля создаются с помощью различного рода соленоидов, т.е. многовитковых контуров с током.
Здесь возможны два случая: при изменении тока в контуре изменяется магнитный поток, пронизывающий: а) этот же контур; б) соседний контур.
ЭДС индукции, возникающая в самом же контуре, называется ЭДС самоиндукции , а само явление – самоиндукция.
Если же ЭДС индукции возникает в соседнем контуре, то говорят о явлении взаимной индукции .
Ясно, что природа явления одна и та же, а разные названия использованы для того, чтобы подчеркнуть место возникновения ЭДС индукции .
Явление самоиндукции открыл американский ученый Дж. Генри.
| Генри Джозеф (1797–1878) – американский физик, член Национальной АН, ее президент (1866–1878).Работы посвящены электромагнетизму. Первый сконструировал мощные подковообразные электромагниты (1828), применив многослойные обмотки из изолированной проволоки (грузоподъемность их достигала одной тонны), открыл в 1831 г. принцип электромагнитной индукции (М. Фарадей первый опубликовал открытие индукции). Построил электрический двигатель (1831), обнаружил (1832) явление самоиндукции и экстратоки, установил причины, влияющие на индуктивность цепи. Изобрел электромагнитное реле. Построил телеграф, действовавший на территории Принстонского колледжа, установил в 1842 г. колебательный характер разряда конденсатора. |
Явление самоиндукции можно определить следующим образом.
Ток I, текущий в любом контуре, создает магнитный поток Ф, пронизывающий этот же контур. При изменении I будет изменяться Ф. Следовательно, в контуре будет наводиться ЭДС индукции.
Т.к. магнитная индукция В пропорциональна току I следовательно
где L – коэффициент пропорциональности, названный индуктивностью контура.
Если внутри контура нет ферромагнетиков, то
(т.к.
).
Индуктивность контура L зависит от геометрии контура, числа витков, площади витка контура.
За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого контура, у которого при токе возникает полный поток . Эта единица называется Генри (Гн) .
Размерность индуктивности:
Вычислим индуктивность соленоида L. Если длина соленоида l гораздо больше его диаметра d ( ) , то к нему можно применить формулы для бесконечно длинного соленоида. Тогда
здесь N – число витков. Поток через каждый из витков
Потокосцепление
Но мы знаем, что , откуда индуктивность соленоида
где n
– число витков на единицу длины, т.е. 
– объем соленоида, значит
| , | (5.1.1) |
Из этой формулы можно найти размерность для магнитной постоянной:
При изменении тока в контуре возникает ЭДС самоиндукции, равная :
| , | (5.1.2) |
Знак минус в этой формуле обусловлен правилом Ленца.
Явление самоиндукции играет важную роль в электротехнике и радиотехнике. Как мы увидим дальше, благодаря самоиндукции происходит перезарядка конденсатора, соединенного последовательно с катушкой индуктивности, в результате в такой LC -цепочке (колебательном контуре) возникают электромагнитные колебания.
Мы уже изучили, что около проводника с током возникает магнитное поле. А также изучили, что переменное магнитное поле порождает ток (явление электромагнитной индукции). Рассмотрим электрическую цепь. При изменении силы тока в этой цепи произойдет изменение магнитного поля, в результате чего в этой же цепи возникнет дополнительный индукционный ток . Такое явление называется самоиндукцией , а ток, возникающий при этом, называется током самоиндукции .
Явление самоиндукции - это возникновение в проводящем контуре ЭДС, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.
Индуктивность контура зависит от его формы и размеров, от магнитных свойств окружающей среды и не зависит от силы тока в контуре.
ЭДС самоиндукции определяется по формуле:
Явление самоиндукции подобно явлению инерции . Так же, как в механике нельзя мгновенно остановить движущееся тело, так и ток не может мгновенно приобрести определенное значение за счет явления самоиндукции. Если в цепь, состоящую из двух параллельно подключенных к источнику тока одинаковых ламп, последовательно со второй лампой включить катушку, то при замыкании цепи первая лампа загорается практически сразу, а вторая с заметным запаздыванием.
При размыкании цепи сила тока быстро уменьшается, и возникающая ЭДС самоиндукции препятствует уменьшению магнитного потока. При этом индуцированный ток направлен так же, как и исходный. ЭДС самоиндукции может во многом раз превысить внешнюю ЭДС. Поэтому электрические лампочки очень часто перегорают при выключении света.
Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля контура с током.
Индуктивность
Индуктивность
Ток I , текущий в замкнутом контуре, вокруг себя создает магнитное поле B .
Ф ~ I .
где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура .
Явление самоиндукции
При изменении тока I в контуре изменяется создаваемое им магнитное поле. Следовательно, в контуре индуцируется э.д.с.
Этот процесс называется самоиндукцией .
В системе СИ индуктивность измеряется в генри: [L ] = Гн = Вб/А = В·с/А.
Явление самоиндукции
Э.д.с. индукции Ei создается внешним магнитным полем.
Э.д.с. самоиндукции ES создается при изменении собственного магнитного поля.
В общем случае индуктивность контура L зависит от
1) геометрической формы контура и его размеров,
2) магнитной проницаемости среды, в которой находится контур.
В электростатике аналогом индуктивности является электроемкость С уединенного проводника, которая зависит от формы, размеров, диэлектрической проницаемости ε среды.
L = const , если магнитная проницаемость μ среды и геометрические размеры контура постоянны.
Закон Фарадея для самоиндукции
Знак минус в законе Фарадея в соответствии с правилом Ленца означает, что наличие индуктивности L приводит к замедлению изменения тока I в контуре.
Если ток I возрастает, то dI / dt > 0 и, соответственно, ES < 0, т.е. ток самоиндукции IS направлен навстречу току I
Если ток I возрастает, то dI / dt > 0 и, соответственно, ES < 0, т.е. ток самоиндукции IS направлен навстречу току I внешнего источника и замедляет его нарастание.
Если ток I убывает, то dI / dt < 0 и, соответственно, ES > 0, т.е. ток самоиндукции IS имеет то же направление, что и убывающий ток I внешнего источника и замедляет его убывание.
^ Закон Фарадея для самоиндукции
Если контур обладает определенной индуктивностью L , то любое изменение тока I тормозится тем сильнее, чем больше L контура, т.е. контур обладает электрической инертностью .
Индуктивность соленоида
Индуктивность L зависит только от геометрических размеров контура и магнитной проницаемости μ среды.
ФN – поток магнитной индукции через N витков,
Ф = BS - магнитный поток сквозь площадку S , ограниченную одним витком.
Индуктивность соленоида
Поле соленоида:
l – длина соленоида,
n = N / l – число витков на единицу длины соленоида.
(2) (1):
По правилу Ленца при включении и выключении тока в цепи, содержащей индуктивность L , возникает ток самоиндукции IS , который направлен так, чтобы препятствовать изменению тока I в цепи.
Экстратоки размыкания
Ключ К в положении 1 :
Ключ К в положении 2 (размыкание цепи) :
Возникает ES и обусловленный ею ток
Экстратоки размыкания
постоянная, называемая временем релаксации – время, в течение которого сила тока I уменьшается в е раз.
Чем больше L , тем больше τ , и тем медленнее уменьшается ток I .
Экстратоки замыкания
При замыкании цепи помимо внешней э.д.с. E возникает э.д.с. самоиндукции ES .
Экстратоки замыкания
В момент замыкания t = 0 сила тока I = 0, переменная a 0 = – I 0, в момент времени t сила тока I , переменная a = I – I 0
Экстратоки замыкания
I 0 – установившийся ток.
Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше L цепи и больше её сопротивление R
Экстратоки замыкания и размыкания
Поскольку сопротивление батареи r обычно мало, то можно считать, что R R 0, где
R 0 – сопротивление цепи без учета сопротивления источника ЭДС. Установившийся ток
R 0 до R .
● Мгновенное увеличение сопротивления цепи от R 0 до R .
Установившийся ток был
При отключении источника э.д.с.
(размыкание цепи) ток изменяется по закону
Величина э.д.с. самоиндукции
R R >> R 0), то ES
Если цепь переключается на очень большое внешнее сопротивление R , например, происходит разрыв цепи (R >> R 0), то ES может стать огромным и образуется вольтова дуга между разомкнутыми концами выключателя.
э.д.с. самоиндукции
В цепи, обладающей большой индуктивностью, ES может оказаться больше э.д.с. источника E, включенного в цепь, что может привести к пробою изоляции и выходу из строя оборудования.
Поэтому сопротивление в контур надо вносить постепенно, уменьшая величину отношения dI /dt .
Взаимная индукция
Магнитный поток, образованный контуром 1, пронизывает контур 2:
L 21 – коэффициент пропорциональности.
Если I 1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с.
Взаимная индукция
Аналогично, если в контуре 2 изменяется I 2, то в первом контуре изменение магнитного потока индуцирует э.д.с.:
Коэффициенты L 12 = L 21 – взаимная индуктивность контуров зависит от
1. геометрической формы,
2. размеров,
3. взаимного расположения,
4. магнитной проницаемости среды μ .
Для двух катушек на общем тороидальном сердечнике
N 1, N 2 – число витков первого и второго контура, соответствен,
l – длина сердечника (тороида) по средней линии,
S – сечение сердечника.
Трансформатор – устройство, состоящее из двух и более катушек, намотанных на один общий сердечник.
Служат для повышения или понижения напряжения переменного тока:
коэффициент трансформации.
Конструктивно трансформаторы выполняют так, что магнитное поле почти полностью сосредоточено в сердечнике.
В большинстве трансформаторов вторичная обмотка наматывается поверх первичной обмотки.
Автотрансформатор – трансформатор, состоящий из одной обмотки.
Повышающий:
1-2 U подводится, 1-3 U снимается.
Понижающий:
1-3 U подводится, 1-2 U снимается.
Скин–эффект
При прохождении переменного тока по проводнику внутри проводника магнитное поле изменяется. Изменяющееся во времени магнитное поле порождает в проводнике вихревые токи самоиндукции .
Скин–эффект
Плоскости вихревых токов проходят через ось проводника.
По правилу Ленца, вихревые токи препятствуют изменению основного тока внутри проводника и способствуют его изменению вблизи поверхности.
Для переменного тока сопротивление внутри проводника больше сопротивления на поверхности R внутри > R поверх.
Скин–эффект
Плотность переменного тока неодинакова по сечению:
jmax на поверхности, jmin внутри на оси.
Это явление называется скин–эффектом .
Следствие скин–эффекта
ВЧ токи текут по тонкому поверхностному слою, поэтому проводники для них делают полыми, а часть внешней поверхности покрывают серебром.
Применение:
метод поверхностной закалки металлов, у которых при нагреве токами высокой частоты (ТВЧ) происходит разогрев только поверхностного слоя.
Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля
Энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.
Работа, обусловленная индукционными явлениями
Энергия магнитного поля
Работа dA затрачивается на изменение магнитного потока на величину dФ .
Работа по созданию магнитного потока Ф :
Объемная плотность энергии магнитного поля
Найдем ω на пример соленоида
Термин индукция в электротехнике означает возникновение тока в электрической замкнутой цепи, если она находится в изменяющемся Открыта всего-то двести лет назад Майклом Фарадеем. Значительно раньше это мог бы сделать Андре Ампер, проводивший похожие опыты. Он вставлял в катушку металлический стержень, а затем, вот незадача, шел в другую комнату посмотреть на стрелку гальванометра - а вдруг она шевельнется. А стрелка исправно делала свое дело - отклонялась, но пока Ампер странствовал по комнатам - возвращалась на нулевую отметку. Вот так явление самоиндукции дожидалось еще добрый десяток лет, пока катушка, прибор и исследователь окажутся одновременно в нужном месте.
Главным моментом этого эксперимента было то, что ЭДС индукции возникает только тогда, когда магнитное поле, проходящее через замкнутый контур, изменяется. А вот менять его можно как угодно - или изменять величину самого магнитного поля, или просто перемещать источник поля относительно того же замкнутого контура. ЭДС, которая при этом возникает, назвали “ЭДС взаимоиндукции”. Но это было только начало открытий в области индукции. Еще более удивительным было явление самоиндукции, которое открыл примерно в то же время. В его опытах было обнаружено, что катушки не только индуцировало ток в другой катушке, но и при изменении тока в этой катушке, наводило в ней же дополнительную ЭДС. Вот ее-то и назвали ЭДС самоиндукции. В большое интерес представляет направление тока. Оказалось, что в случае с ЭДС самоиндукции ее ток направлен против своего “родителя” - тока, обусловленного основной ЭДС.
А можно наблюдать явление самоиндукции? Как говорится, нет ничего проще. Соберем две первая - последовательно включенная катушка индуктивности и лампочка, а вторая - только лампочка. Подключим их к аккумулятору через общий выключатель. При включении можно видеть, что лампочка в цепи с катушкой загорается “нехотя”, а вторая лампочка, более быстрая “на подъем”, включается мгновенно. Что происходит? В обеих цепях после включения начинает протекать ток, причем он изменяется от нуля до своего максимума, а как раз изменения тока и дожидается катушка индуктивности, которая порождает ЭДС самоиндукции. Есть ЭДС и замкнутая цепь - значит, есть и ее ток, но направлен он противоположно основному току цепи, который, в конце концов, достигнет максимального значения, определяемого параметрами цепи, и перестанет расти, а раз нет изменения тока - нет и ЭДС самоиндукции. Все просто. Аналогичная картина, но с “точностью до наоборот”, наблюдается при выключении тока. Верная своей “вредной привычке” противодействовать любому изменению тока, ЭДС самоиндукции поддерживает его протекание в цепи после отключения питания.
Сразу же стал вопрос - в чем заключается явление самоиндукции? Было установлено, что на ЭДС самоиндукции влияет скорость изменения тока в проводнике, и можно записать:
Отсюда видно, что ЭДС самоиндукции Е прямопропорциональна скорости изменения тока dI/dt и коэффициенту пропорциональности L, названному индуктивностью. За свой вклад в исследование вопроса, в чем состоит явление самоиндукции, Джордж Генри был вознагражден тем, что его имя носит единица измерения индуктивности — генри (Гн). Именно индуктивность цепи протекания тока определяет явление самоиндукции. Можно представить, что индуктивность - это некое “хранилище” магнитной энергии. В случае увеличения тока в цепи электрическая энергия преобразуется в магнитную, задерживает рост тока, а при уменьшении тока магнитная энергия катушки преобразуется в электрическую и поддерживает ток в цепи.
Наверное, каждому приходилось видеть искру при выключении вилки из розетки - это самый распространенный вариант проявления ЭДС самоиндукции в реальной жизни. Но в быту размыкаются токи максимум 10-20 А, а время размыкания порядка 20 мсек. При индуктивности порядка 1 Гн ЭДС самоиндукции в этом случае будет равна 500 В. Казалось бы, что вопрос, в чем состоит явление самоиндукции, не так и сложен. А на самом деле, ЭДС самоиндукции представляет собой большую техническую проблему. Суть в том, что при разрыве цепи, когда контакты уже разошлись, самоиндукция поддерживает протекание тока, а это приводит к выгоранию контактов, т.к. в технике коммутируются цепи с токами в сотни и даже тысячи ампер. Здесь зачастую речь идет об ЭДС самоиндукции в десятки тысяч вольт, а это требует дополнительного решения технических вопросов, связанных с перенапряжениями в электрических цепях.
Но не все так мрачно. Бывает, что эта вредная ЭДС очень даже полезна, например, в системах зажигания ДВС. Такая система состоит из катушки индуктивности в виде автотрансформатора и прерывателя. Через первичную обмотку пропускается ток, который выключается прерывателем. В результате обрыва цепи возникает ЭДС самоиндукции в сотни вольт (при этом аккумулятор дает всего 12В). Дальше это напряжение дополнительно трансформируется, и на свечи зажигания поступает импульс больше 10 кВ.
Электрический ток, проходящий по контуру, создает вокруг него магнитное поле. Магнитный поток Φ через контур этого проводника (его называют собственным магнитным потоком ) пропорционален модулю индукции В магнитного поля внутри контура \(\left(\Phi \sim B \right)\), а индукция магнитного поля в свою очередь пропорциональна силе тока в контуре \(\left(B\sim I \right)\).
Таким образом, собственный магнитный поток прямо пропорционален силе тока в контуре \(\left(\Phi \sim I \right)\). Эту зависимость математически можно представить следующим образом:
\(\Phi = L \cdot I,\)
Где L - коэффициент пропорциональности, который называется индуктивностью контура .
- Индуктивность контура - скалярная физическая величина, численно равная отношению собственного магнитного потока, пронизывающего контур, к силе тока в нем:
В СИ единицей индуктивности является генри (Гн):
1 Гн = 1 Вб/(1 А).
- Индуктивность контура равна 1 Гн, если при силе постоянного тока 1 А магнитный поток через контур равен 1 Вб.
Индуктивность контура зависит от размеров и формы контура, от магнитных свойств среды, в которой находится контур, но не зависит от силы тока в проводнике. Так, индуктивность соленоида можно рассчитать по формуле
\(~L = \mu \cdot \mu_0 \cdot N^2 \cdot \dfrac{S}{l},\)
Где μ - магнитная проницаемость сердечника, μ 0 - магнитная постоянная, N - число витков соленоида, S - площадь витка, l - длина соленоида.
При неизменных форме и размерах неподвижного контура собственный магнитный поток через этот контур может изменяться только при изменении силы тока в нем, т.е.
\(\Delta \Phi =L \cdot \Delta I.\) (1)
Явление самоиндукции
Если в контуре проходит постоянный ток, то вокруг контура существует постоянное магнитное поле, и собственный магнитный поток, пронизывающий контур, не изменяется с течением времени.
Если же ток, проходящий в контуре, будет изменяться со временем, то соответственно изменяющийся собственный магнитный поток, и, согласно закону электромагнитной индукции, создает в контуре ЭДС.
- Возникновение ЭДС индукции в контуре, которое вызвано изменением силы тока в этом контуре, называют явлением самоиндукции . Самоиндукция была открыта американским физиком Дж. Генри в 1832 г.
Появляющуюся при этом ЭДС - ЭДС самоиндукции E si . ЭДС самоиндукции создает в контуре ток самоиндукции I si .
Направление тока самоиндукции определяется по правилу Ленца: ток самоиндукции всегда направлен так, что он противодействует изменению основного тока. Если основной ток возрастает, то ток самоиндукции направлен против направления основного тока, если уменьшается, то направления основного тока и тока самоиндукции совпадают.
Используя закон электромагнитной индукции для контура индуктивностью L и уравнение (1), получаем выражение для ЭДС самоиндукции:
\(E_{si} =-\dfrac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-L\cdot \dfrac{\Delta I}{\Delta t}.\)
- ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре, взятой с противоположным знаком. Эту формулу можно применять только при равномерном изменении силы тока. При увеличении тока (ΔI > 0), ЭДС отрицательная (E si < 0), т.е. индукционный ток направлен в противоположную сторону тока источника. При уменьшении тока (ΔI < 0), ЭДС положительная (E si > 0), т.е. индукционный ток направлен в ту же сторону, что и ток источника.
Из полученной формулы следует, что
\(L=-E_{si} \cdot \dfrac{\Delta t}{\Delta I}.\)
- Индуктивность – это физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на 1 А за 1 с.
Явление самоиндукции можно наблюдать на простых опытах. На рисунке 1 показана схема параллельного включения двух одинаковых ламп. Одну из них подключают к источнику через резистор R , а другую - последовательно с катушкой L . При замыкании ключа первая лампа вспыхивает практически сразу, а вторая - с заметным запозданием. Объясняется это тем, что на участке цепи с лампой 1 нет индуктивности, поэтому тока самоиндукции не будет, и сила тока в этой лампе почти мгновенно достигает максимального значения. На участке с лампой 2 при увеличении тока в цепи (от нуля до максимального) появляется ток самоиндукции I si , который препятствует быстрому увеличению тока в лампе. На рисунке 2 изображен примерный график изменения тока в лампе 2 при замыкании цепи.
При размыкании ключа ток в лампе 2 также будет затухать медленно (рис. 3, а). Если индуктивность катушки достаточно велика, то сразу после размыкания ключа возможно даже некоторое увеличение тока (лампа 2 вспыхивает сильнее), и только затем ток начинает уменьшаться (рис. 3, б).
Рис. 3
Явление самоиндукции создает искру в том месте, где происходит размыкание цепи. Если в цепи имеются мощные электромагниты, то искра может перейти в дуговой разряд и испортить выключатель. Для размыкания таких цепей на электростанциях пользуются специальными выключателями.
Энергия магнитного поля
Энергия магнитного поля контура индуктивности L с силой тока I
\(~W_m = \dfrac{L \cdot I^2}{2}.\)
Так как \(~\Phi = L \cdot I\), то энергию магнитного поля тока (катушки) можно рассчитать, зная любые две величины из трех (Φ, L, I ):
\(~W_m = \dfrac{L \cdot I^2}{2} = \dfrac{\Phi \cdot I}{2}=\dfrac{\Phi^2}{2L}.\)
Энергию магнитного поля, заключенную в единице объема пространства, занятого полем, называют объемной плотностью энергии магнитного поля:
\(\omega_m = \dfrac{W_m}{V}.\)
*Вывод формулы
1 вывод.
Подключим к источнику тока проводящий контур с индуктивностью L . Пусть за малый промежуток времени Δt сила тока равномерно увеличится от нуля до некоторого значения I (ΔI = I ). ЭДС самоиндукции будет равна
\(E_{si} =-L \cdot \dfrac{\Delta I}{\Delta t} = -L \cdot \dfrac{I}{\Delta t}.\)
За данный промежуток время Δt через контур переносится заряд
\(\Delta q = \left\langle I \right \rangle \cdot \Delta t,\)
где \(\left \langle I \right \rangle = \dfrac{I}{2}\) - среднее значение силы тока за время Δt при равномерном его возрастании от нуля до I .
Сила тока в контуре с индуктивностью L достигает своего значения не мгновенно, а в течение некоторого конечного промежутка времени Δt . При этом в цепи возникает ЭДС самоиндукции E si , препятствующая нарастанию силы тока. Следовательно, источник тока при замыкании совершает работу против ЭДС самоиндукции, т.е.
\(A = -E_{si} \cdot \Delta q.\)
Работа, затраченная источником на создание тока в контуре (без учета тепловых потерь), и определяет энергию магнитного поля, запасаемую контуром с током. Поэтому
\(W_m = A = L \cdot \dfrac{I}{\Delta t} \cdot \dfrac{I}{2} \cdot \Delta t = \dfrac{L \cdot I^2}{2}.\)
2 вывод .
Если магнитное поле создано током, проходящим в соленоиде, то индуктивность и модуль индукции магнитного поля катушки равны
\(~L = \mu \cdot \mu_0 \cdot \dfrac {N^2}{l} \cdot S, \,\,\, ~B = \dfrac {\mu \cdot \mu_0 \cdot N \cdot I}{l}\)
\(I = \dfrac {B \cdot l}{\mu \cdot \mu_0 \cdot N}.\)
Подставив полученные выражения в формулу для энергии магнитного поля, получим
\(~W_m = \dfrac {1}{2} \cdot \mu \cdot \mu_0 \cdot \dfrac {N^2}{l} \cdot S \cdot \dfrac {B^2 \cdot l^2}{(\mu \cdot \mu_0)^2 \cdot N^2} = \dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {B^2}{\mu \cdot \mu_0} \cdot S \cdot l.\)
Так как \(~S \cdot l = V\) - объем катушки, плотность энергии магнитного поля равна
\(\omega_m = \dfrac {B^2}{2\mu \cdot \mu_0},\)
где В - модуль индукции магнитного поля, μ - магнитная проницаемость среды, μ 0 - магнитная постоянная.
Литература
- Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 351-355, 432-434.
- Жилко В.В. Физика: учеб. пособие для 11-го кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. Обучения с 12-летним сроком обучения (базовый и повышенный уровни) / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. - Мн.: Нар. асвета, 2008. - С. 183-188.
- Мякишев, Г.Я. Физика: Электродинамика. 10-11 кл. : учеб. для углубленного изучения физики / Г.Я. Мякишев, А.3. Синяков, В.А. Слободсков. - М.: Дрофа, 2005. - С. 417-424.