Ф.И.О. учителя:
Иванова Ольга Анатольевна
Предмет:
Математика
Класс: 6 А
Наименование учебно-методического комплекта (УМК): Математика. Учебник для 6 класса / Никольский С.М., Потапов М.К.
Тема урока: отрицательные целые числа
Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний
Место урока в системе уроков : Урок 1 в теме «Целые числа»
Цели урока :
Обучающая: научиться находить с помощью показаний термометра разницу температур, познакомиться с правилом вычитания чисел с помощью ряда целых чисел;
Развивающая: развивать аналитическое мышление, выделять главное и обобщать
Воспитательная: воспитывать чувство взаимного сотрудничества, умения слушать
Дидактическая задача урока: ввести понятие отрицательного, положительного чисел, ряда целых чисел; усвоить правила вычитания чисел с помощью термометра и ряда целых чисел
Планируемые результаты
Предметные результаты: знать ипонимать смысл понятий: положительное число, отрицательное число, ряд целых чисел, уметь вычитать числа с помощью ряда целых чисел, применять полученные знания на других уроках.
Метапредметные результаты:
Познавательные: способность понимать учебную задачу урока, выделять и формулировать познавательные цели, строить логическую цепочку рассуждений.
Регулятивные: контролировать и оценивать собственную деятельность и деятельность партнеров, планировать и корректировать свою деятельность;
Коммуникативные: уметь достаточно полно и чётко выражать свои мысли, слушать собеседника и вести диалог.
Личностные: иметь мотивацию к учебной деятельности, принимать и осваивать социальную роль обучающегося, использовать приобретенные знания учебного сотрудничества со взрослыми и сверстниками в разных ситуациях.
Основные понятия: отрицательные числа, положительные числа, ряд целых чисел
Межпредметные связи: физика
Ресурсы: http :// www . uroki . net ; http :// www . zavuch . info
Формы работы: фронтальная беседа, работа в парах, индивидуальная работа.
Этапы урока
Деятельность учителя
Деятельность учеников
время
Формируемые УУД
1.
Организационный этап
Приветствие учащихся. Контроль готовности к уроку.
Проверьте, все ли у вас в порядке? Книжки, ручки и тетрадки? Прозвенел сейчас звонок: начинается урок!
На уроке работайте старательно, и успех вас ждет обязательно!
Подготовка к началу урока
Личностные: положительно относятся к учению, познавательной деятельности, желают приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся.
Познавательные: осознают учебно-познавательную задачу.
Регулятивные: планируют в сотрудничестве с учителем, одноклассниками самостоятельно необходимые действия.
Коммуникативные : слушают и слышат друг друга.
2.
Актуализация знаний
Ребята, какой самый главный навык в математике? Проверим, как вы умеете считать: проведем математическую разминку.
На доске записаны примеры, решаем их устно и говорим ответ.
Ребята, что вы можете сказать о числах, написанных в первом и тором столбцах? Какие они?
Какие математические действия с числами вы совершали?
Предлагают варианты ответов (счет)
Устная работа с примерами на доске.
Отвечают на вопросы (натуральные, дробные)
(сложение, вычитание, умножение, деление)
Оценка своем деятельности
Личностные: проявляют устойчивый познавательный интерес к устному счету.
Познавательные: выполняют учебно-познавательные действия в умственной форме; осуществляют для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения, квалификации.
Регулятивные : принимают и сохраняют учебную задачу.
Коммуникативные : высказывают и обосновывают свою точку зрения.
3.
Целеполагание
Организация работы с раздаточным материалом.
Ребята, обратите внимание на листы с заданием 1
На демонстрационном термометре показывается решение задачи.
Ребята, с каким новым понятием мы столкнулись? Как нам записать показания термометра? Что означает запись -3 0 С.
От какой точки мы отсчитываем температуру? Как называем температуру, расположенную выше 0? Ниже 0? Какую роль играет 0?
Какая же тема урока?
Учитель корректирует ответы учащихся и озвучивает тему урока. Тема урока: отрицательные целые числа.
Совместно с учащимися:
формулирует цель учебной деятельности;
строит проект (алгоритм) выхода из проблемной ситуации.
Организует и дополняет совместную учебную деятельность
Читают задачу и предлагают варианты решения.
Отвечают на вопросы
Ответы учащихся
Температура вечером -3 0 С
Перед 3 поставить минус.
3 0 С мороза.
Отсчитываем от 0. Плюсовая (положительная), минусовая (отрицательная). граница
Отрицательные температуры (числа)
Учащиеся записывают тему в тетрадь.
Формулируют цель учебной деятельности в диалоге с учителем.
Личностные : ведут диалог на основе равноправных отношений и взаимного уважения и принятия.
Познавательные : извлекают необходимую информацию из объяснения, высказываний одноклассников, систематизируют знания.
Регулятивные : планируют необходимые действия.
Коммуникативные : строят монологические высказывания, осуществляют совместную деятельность.
4
Организация работы с учебником
206 в тетрадях
Проверьте ответы друг у друга
Задание 2
решить примеры с помощью термометра:
10 0 С -5 0 С=+5 0 С
15 0 С -15 0 С=+0 0 С
0 0 С -10 0 С=-10 0 С
10 0 С – 15 0 С=-5 0 С
15 0 С-20 0 С=-5 0 С
Ребята, представьте, что мы с вами расположили термометр горизонтально и получили следующую запись
Как назовем числа, расположенные справа от 0? Слева от 0?
Сформулируйте определение положительного и отрицательного числа
Выполняют работу устно и в тетрадях.
Взаимопроверка
Работа в парах; проверка решения у доски с объяснением с термометром
Оценка деятельности
Положительные, отрицательные.
Формулируют определение
Личностные : конструктивно разрешают возникающие проблемы.
Познавательные : читают и слушают, извлекая нужную информацию.
Регулятивные : контролируют учебные действия, замечают допущенные ошибки; осознают правило контроля и успешно используют его в решении учебной задачи.
Коммуникативные : осуществляют совместную деятельность в парах.
4.
Физкультминутка
А теперь представьте, что ноль это ваши руки сложенные у груди, тогда левая рука покажет расположение каких чисел? Правая?
Покажите мне, где относительно нуля находится число 5? -7? -10? 100? 15? -20?
Проведем разминку
Отвечают на вопросы, показывают расположение чисел
Отвлекаются от учебной деятельности, разминаются.
Личностные: о сознание ценности здоровья
Познавательные : устанавливают причинно-следственные связи между своим здоровьем и физическими упражнениями.
Регулятивные : адекватно самостоятельно оценивают правильность выполнения действия и вносят необходимые коррективы в исполнение как в конце действия, так и по ходу реализации.
5.
Первичное восприятие и усвоение материала
Ребята, вернемся к записи
7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Что означает данная запись?
Из каких чисел состоит ряд целых чисел?
Найти ответ вам поможет учебник
Как ряд целых чисел может нам помочь при вычитании чисел?
Попробуйте с помощью ряда целых чисел выполнить задание 3
Самостоятельное выполнение упражнения
Выполнение задания 3
Проверим, какие результаты вы получили.
Работа с учебником, поиск ответа на вопрос. (ряд целых чисел)
Ряд целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.
При вычитании мы будем передвигаться влево по ряду
Выполнение заданий в тетрадях
Проверка с устным комментированием
Обсуждение решений
Оценка деятельности
Личностные : проявляют потребность в самовыражении и самореализации.
Познавательные : осуществляют поиск необходимой информации (из материалов учебника и рассказа учителя, по воспроизведению в памяти).
Регулятивные : самостоятельно контролируют свое время, отведенное для решения конкретной задачи, и управляют им.
Коммуникативные : отображают во внутренней речи содержание совершаемых действий.
6.
Рефлексия
С каким новым для вас понятием мы познакомились на сегодняшнем уроке?
Чему мы научились на сегодняшнем уроке?
Что было самым трудным?
Подводит итоги урока. Дает оценку работы класса и отдельных учеников.
Дают адекватную оценку своей деятельности.
Личностные : понимают значение знаний для человека.
Познавательные : приобретают умения использовать знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни; устанавливают взаимосвязь между объемом приобретенных на уроке знаний, умений, навыков и операционных, исследовательских, аналитических умений как интегрированных, сложных умений.
Регулятивные : оценивают свою работу; исправляют и объясняют свои ошибки.
Коммуникативные : формулируют собственные мысли, высказывают и обосновывают свою точку зрения.
7
Домашнее задание
Задает домашнее задание.
425, 426, 434 * в
Учащиеся записывают домашнее задание
Действительно, а почему? Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы запомнили - что вот именно так и больше не задаемся вопросом.
А давайте зададимся...
Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, ... Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.
Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 - 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.
В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).
Рассмотрим для примера уравнение 7x - 17 = 2x - 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.
Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (-15)/(-5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (-15)/(-5) = 3.
Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.
Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.
Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции... Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).
В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.
Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.
Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:
Сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (-A)), что A + (-A) = 0;
-умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.
Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.
Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (-A)·B = -(A·B), а во-вторых (-(-A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (-1)·1 = -(1·1) = -1 и (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1.
Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.
Заметим теперь, что и A, и (-(-A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (-A), поэтому они должны быть равны.
Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (-A))·B = A·B + (-A)·B, то есть (-A)·B противоположно A·B, значит, оно равно -(A·B).
Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.
А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.
Евгений Епифанов
Отрицательные числа располагаются слева от нуля . Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка , позволяющее сравнивать одно целое число с другим.
Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n , которое дополняет n до нуля: n + (− n ) = 0 . Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a равносильно сложению с противоположным для него: -a .
Свойства отрицательных чисел
Отрицательные числа подчиняются практически тем же правилам, что и натуральные, но имеют некоторые особенности.
Исторический очерк
Литература
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
- Глейзер Г. И. История математики в школе . - М.: Просвещение, 1964. - 376 с.
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Отрицательные формы рельефа
- Отрицательный и положительный нуль
Смотреть что такое "Отрицательные числа" в других словарях:
Отрицательные числа - действительные числа, меньшие нуля, например 2; 0,5; π и т. п. См. Число … Большая советская энциклопедия
Положительные и отрицательные числа - (величины). Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 5 + 2 = 10 +2 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
числа отрицательные - Числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами. Тематики бухгалтерский учет … Справочник технического переводчика
ЧИСЛА, ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ - числа в бухгалтерском учете, которые пишутся красным карандашом или красными чернилами … Большой бухгалтерский словарь
Целые числа - Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из… … Википедия
Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… … Википедия
ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА - коэффициенты Е n в разложении Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символической записи, (E + 1)n + (Е 1)n=0, E0 =1. При этом Е 2п+1=0, E4n положительные, E4n+2 отрицательные целые числа для всех n=0, 1, . . .; E2= 1, E4=5, E6=61, E8=1385 … Математическая энциклопедия
Отрицательное число - Отрицательное число элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате… … Википедия
История арифметики - Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия
Арифметика - Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ … Википедия
Книги
- Комплект таблиц. Математика. 6 класс. 12 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 12 листов. Делимость… Купить за 3063 руб
- Математика. 6 класс. Рабочая тетрадь. Положительные и отрицательные числа , . Рабочая тетрадь для 6 класса входит в состав УМК по математике для основной школы (5-9 классы), созданного в рамках проекта "Математика. Психология. Интеллект" наряду сучебниками, учебными…
Отрицательные и воображаемые числа
Теперь мы рискнём обратиться к алгебре. Использование в алгебре отрицательных и воображаемых чисел подтверждает четырёхчастную природу анализа и предоставляет дополнительный шанс использовать трёхчастный анализ. В этом случае мы снова должны предупредить, что намереваемся использовать концепции алгебры для целей, далеко выходящих за пределы обычного применения этих концепций, т. к. некоторые открытия алгебры привносят весомый вклад в наше исследование.
Эволюция математики пошла семимильными шагами после открытия возможности использования отрицательных чисел (отрицательных количеств
). Если мы представим положительные числа как ряд, уходящий вправо от нуля, то слева от нуля будут отрицательные.
и т. д. ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3… и т. д.
С помощью этого графика мы можем представить себе сложение, как движение вправо, а вычитание - как движение влево. Становится возможным вычитание большего числа из меньшего; к примеру, если мы вычтем 3 из 1, то получим -2, которое является реальным (хотя и отрицательным) числом.
Следующая важная концепция - воображаемые числа. Они были не открыты, а, скорее, случайно обнаружены. Математики пришли к выводу, что числа имеют корни, т. е. такие числа, которые, будучи помножены на самих себя, дают искомое число. Обнаружение отрицательных чисел и сопоставление их с корнями вызвало в научных кругах панику. Какими должны быть числа, умножение которых друг на друга дало бы число -1? Какое-то время ответа не было. Квадратный корень отрицательного числа было невозможно вычислить. Поэтому его и назвали воображаемым. Но когда Гаусс, прозванный «принцем математиков», открыл метод представления воображаемых чисел, вскоре нашлась и возможность для их применения. Сегодня ими пользуются наравне с реальными числами. Метод представления воображаемых чисел использует диаграмму Арганда, которая представляет собой цельность как окружность, а корни этой цельности - как участки окружности.
Вспомним, что ряд отрицательных и положительных чисел расходится в противоположные стороны из одной точки - нуля. Таким образом, квадратные корни целых чисел, +1 или -1, также могут быть выражены как противоположные концы линии, где в центре - ноль. Эту линию можно также представить как угол 180 0 , или диаметр.
Гаусс развил первоначальное предположение и обрисовал квадратный корень из -1 как половину расстояния между +1 и -1, или как угол 90 0 между линией от -1 до +1. Следовательно, если разделение целого на плюс и минус есть диаметр, или 180 0 , то второе разделение ведёт к появлению ещё одной оси, которая делит этот диаметр пополам, т. е. на угол 90 0 .
Таким образом, мы получаем две оси - горизонтальную, представляющую бесконечности положительных и отрицательных чисел, и вертикальную, представляющую бесконечности воображаемых положительных и отрицательных чисел. Получается обычная ось координат, где число, описываемое этой схемой и осями, есть число, имеющее реальную и воображаемую части.
Используя диаграмму Арганда (эту окружность с радиусом целого (радиус +1) на сложной системе координат), следующие корни целого (кубические корни, корни в четвёртой, пятой степенях и т. д.) мы находим простым делением окружности на три, пять и т. д. равных частей. Нахождение целого корня превращается в процесс вписывания многоугольников в окружность: треугольника для кубического корня, пятиугольника для корня в пятой степени и т. д. Корни становятся точками на окружности; их значения имеют реальную и воображаемую части, а высчитываются они, соответственно, по горизонтальной или вертикальной осям координат. Это означает, что они измеряются в терминах квадратных корней и корней в четвёртой степени .
Из этого мощного логического упрощения становится ясно, что анализ - процесс четырёхчастный. Любая ситуация может быть рассмотрена с точки зрения четырёх факторов или аспектов. Это не только лишний раз подтверждает Аристотилеву идею четырёх категорий, но и объясняет, почему квадратные уравнения (другими словами, «четырёхсторонние») так популярны в математике.
Но вывод о природе анализа как четырёхчастного по сути предполагает его работу в оба направления. Анализ же показывает и всеохватность четырёхчастного, и его ограниченность. А также то, что иногда суть опыта не поддаётся никакому анализу.
Находясь «внутри» геометрического метода, мы показали, что эти неаналитические факторы включают в себя тройственность, пяти нность, семи нность. Несмотря на то, что мы способны дать их аналитическое описание, - оно не способно раскрыть их истинную природу.