Золотое число фи равно. Числа Фибоначчи и золотое сечение: взаимосвязь. Что такое число ФИ

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Золотое сечение (золотая пропорция , деление в крайнем и среднем отношении , гармоническое деление ) - соотношение двух величин a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} , при котором большая величина относится к меньшей так же как сумма величин к большей, то есть: a b = a + b a . {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.} Исторически изначально в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка A B {\displaystyle AB} точкой C {\displaystyle C} на две части так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей : B C A C = A B B C {\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}} . Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число, равное отношению a / b {\displaystyle a/b} , обычно обозначается прописной греческой буквой Φ {\displaystyle \Phi } , в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия , реже - греческой буквой τ {\displaystyle \tau } . Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число

Φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Обратное число, обозначаемое строчной буквой φ {\displaystyle \varphi } ,

φ = 1 Φ = − 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Отсюда следует, что

φ = Φ − 1 {\displaystyle \varphi =\Phi -1} .

Число Φ {\displaystyle \Phi } называется также золотым числом .

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Φ {\displaystyle \Phi } = 1,618 или Φ {\displaystyle \Phi } = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение - это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Иллюстрация к определению

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства .

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника .

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку , самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика» , в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (нем. goldener Schnitt ). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам , хотя некоторые авторы утверждают обратное . Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги , Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года. В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.

Математические свойства

При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение

1 Φ = φ = tg ⁡ (arctg ⁡ (2) 2) = 2 1 + 1 + 2 2 = 2 1 + 5 = 5 − 1 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.} подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи F n + 1 F n {\displaystyle {\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}} . Таким образом,

Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка A B {\displaystyle AB} можно построить следующим образом: в точке B {\displaystyle B} восстанавливают перпендикуляр к A B {\displaystyle AB} , откладывают на нём отрезок B C {\displaystyle BC} , равный половине A B {\displaystyle AB} , на отрезке A C {\displaystyle AC} откладывают отрезок C D {\displaystyle CD} , равный B C {\displaystyle BC} , и наконец, на отрезке A B {\displaystyle AB} откладывают отрезок A E {\displaystyle AE} , равный A D {\displaystyle AD} . Тогда

Φ = | A B | | A E | = | A E | | B E | . {\displaystyle \Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.}

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

Тогда как ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 (2 n n) = π 2 18 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}} [ ]

Золотое сечение в науке

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr.

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь , приведенная на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф.

Золотое сечение сильно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр . Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию . Молекула воды , у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7 0 , то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н + (Н 2 0) 21 , который представляет из себя ион Н 3 0 + , окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра . В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения , содержащие гексааквакомплекс кальция , окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра . Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды .

Золотое сечение и гармония в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

Пропорции пирамиды Хеопса , храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
Согласно Ле Корбюзье , в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса , пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов - например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми» [ ] .
Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Примеры сознательного использования

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того .

Золотое сечение в биологии и медицине

Золотое сечение в природе

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов [ ] и др.

См. также

Примечания

Взята из примера результата компьютерного расчета (1996 года) с гораздо большим числом знаков, чем 1000

В жизни человека, осознает он это или нет, происходят невероятные вещи. Знаки вселенной, как неповторимый отпечаток пальца, окружают каждое живое существо на земле. Число ФИ – это числовой код Фибоначчи, олицетворяющий то, к чему тянется любая душа. Гармония, баланс и спокойствие.

Числа Фибоначчи можно увидеть в самых неожиданных вещах. Закономерные коды, отображенные на планете и спрятанные во вселенной, являются проявлением сил, которые осознать не так уж просто. Чем человеку поможет значение ФИ для самопознания?

Значение чисел в жизни людей

Гармония – вот истинная цель любого философа и мыслителя. На интуитивном уровне каждое живое существо ищет тот незыблемый невидимый баланс, что приносит чувство умиротворенного счастья. Числа ФИ используются в науке, искусстве, философии. Уникальный набор цифр позволяет создавать шедевры, необъяснимые даже скептиками и атеистами. Какие магические силы связаны с золотым числом?

У значения ФИ непростая история. Подобно человеку, неповторимый код прошел долгий путь прежде, чем любопытный ум человека не нашел ему достойное применение. У загадочного числа есть свои определенные числовые рамки, условное значение, которому учат в школе. Числа – это опора, на которой держится экономика, да и мир в целом. Нумерология, как самая точная наука из всех эзотерических, помогает человечеству на протяжении сотен лет.

Роль Золотого Числа в нашей жизни

С чего все началось? Каждый человек рождается под определенным положением планет. Лунные, стандартные и магические календари позволяют составить уникальную карту для любой души. Никто не рождается дважды, как и ни один человек не повторяет путь другого. Именно на этом коде, полученном при рождении и неизменном в течение жизни, нумерологи определяют судьбу. Никаких специальных атрибутов для магического действия не понадобится. Только точные, сухие расчеты. К предсказаниям нумерологов прислушиваются даже те, кто вовсе не верит в существование потусторонних сил. Числа непредвзяты, им безразличны мотивы людей и их душевные качества.

Код ФИ работает по такому же принципу, выискивая закономерность во вселенском хаосе. По природе своей человек не способен осознать весь смысл. Числа ФИ маленькая часть того, о чем простой смертный даже не подозревает. Формула золотого сечения помогает не только заглянуть в душу человека, но и понять хоть небольшую толику мироздания. Числа ФИ называют числами Бога, той невидимой, но невероятной неосознанной людским мозгом силы. Какие свойства золотого сечения?

Нумерология и точные прогнозы по цифрам

Можно ли верить нумерологам? Числа из формулы, которая названа в честь неподражаемого Фибоначчи лишь небольшая часть того, что может получить человек, исследуя ряды последовательных цифр. Числа находятся повсюду. Лотерея, банковский счет, номер телефона и порядковый номер в очереди – все этого проявление порядка, собранного из сотен ниточек бесконечного хаоса. До выведения формулы золотого сечения схожие коды были созданы ученными по всему миру. Год за годом люди пытались понять собственную душу через открытия внешнего мира, через вселенную – столь далекую и непостижимую. Выеденное ФИ – это закономерность без намека на случайность. В нумерологии есть такое понятие «закономерная случайность» говорящее о том, как мало человек понимает природу происходящих событий.

Из беспокойства и неопределенности появляется страх, а он толкает человека на страшные, порой необратимые поступки. Гармония, которую описывает золотое сечение, находится между познанием собственной природы и осознания того, что не подвластно человеческой воли.

Цифры кода ФИ, выведенные Фибоначчи не простой набор чисел.

Это гармония, которую человек может увидеть воочию, к которой он способен прикоснуться и поверить, даже если ограниченное сознание не позволяет проявить веру. Свойства числа ФИ изучаются по сей день, как загадка, которая ускользает прямо из-под носа. Как найти собственную судьбу по коду Фибоначчи? Значение выведенных формул довольно простое. Все, что понадобится человеку – проявить немного терпения и быть открытым для всего нового и волнующего.

Что такое число ФИ?

Что собой представляют числа ФИ? Числовое значение последовательности равно 1,61803398. Оно означает пропорцию, ту же гармонию, только в двух абстрактных понятиях – большего и меньшего. ФИ обозначает, что меньшая часть всегда соотносится к большей, а большая к целому. Расчет, значит больше, чем любой другой коэффициент, выведенный математиком или физиком. В процентном соотношении пропорция отображается, как 62% на 38%. Зачем нужна такая пропорция? У золотого сечения пространственные и временные характеристики. Код ФИ – это космический порядок, это порождение хаоса, что стал последовательным. В математике и геометрии цифровое отображение гармонии рассматривается «как ассиметричная симметрия». Мироустройство и значение ФИ тесно переплетены. Закономерность, открытая человеческому взору, является отображением всего, что может произойти в судьбе личности.

Где прослеживается число ФИ? Золотое сечение состоит из определенной, неизменной последовательности. Пропорция, которая прослеживается во всем сущем на Земле:

в человеческом теле;
в природе;
во вселенной;
в природных явлениях.

Разглядеть закономерность в собственном теле или в мире вокруг не столь важно. Последовательность ФИ существует вне зависимости от того, верить в нее личность или нет. Зачем человеку нужно знать значение пропорции? ФИ – это ключ к тому, как возникает каждая живая клеточка во вселенной. Это знание, о котором высшие умы человечества даже не могли мечтать. Божественное начало и возможно ответ на волнующий каждую верующую душу и атеиста вопрос: откуда появился человек, и какова цель его пребывания на земле?

История числа ФИ

Слова, как и числовые значения, окружают взрослого и ребенка. История и значение ФИ позволит понять, для чего оно нужно, и как пропорция поможет изменить судьбу? Божественная мера, как золотое сечение называют адепты разных культур, связывают такие земные чудеса: «Мона Лиза», египетские пирамиды и обычная шишка. ФИ объединяет с виду несвязные вещи, явления, проявления тех событий, о которых человек не думает вовсе.

Леонард Пизанский открыл первые пропорции, что до сегодняшнего дня остались неизменными. В математике набор чисел чтится, ведь в них описывается основоположная функция для различных расчетов. Последовательность состоит из чисел, сумма которых определяет предыдущее значение. Первые значения последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. 4 выпадает, ведь первые четыре цифры последовательности завершают цепочку любой другой возможной закономерности. Спутать золотое сечение в коде с другими функциями или пропорциями невозможно.

Такое понятие, как золотое сечение появилось еще в древнем Риме. Египтяне, Греческая империя, даже на территории древней Руси мыслители пытались познать сущность окружающего мира. Значение удивительной и интересной пропорции впервые было разъяснено монахом Лука Пачоли. Божественное триединство рассматривалось, как основа всего существующего. Интересные факты о числовом коде по сей день поражают человека. В математике последовательность используется для расчета самых сложных формул. Удивительная функция описывает немало происходящих изменений в теле и душе. Она ставит под сомнение давно изученные постулаты и открывает новый вид на вселенную.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ УДИВИТЕЛЬНАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ [Число ФИ и Золотое сечение]

Тайна числа 1.618034 - самое ВАЖНОЕ число в мире

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Магия числа ФИ

Для золотого сечения существует немало применений в современном мире. В человеческом теле, в его духовном мире и окружающей среде. Симметрия используется буквально в любом проявлении искусства. Расчеты и пропорции являются основной будущего шедевра. Прежде чем в мире признали силу абстракции, асимметрия считалась проявлением невежества и отсутствием таланта художника. Мерки тела для будущей скульптуры, черты лица для картины – первоначальные эскизы составляются исключительно благодаря золотому сечению. Золотая пропорция, как ее звал сам Леонардо да Винчи, позволяла воссоздать мельчайшие детали человеческого тела. На сегодняшний день творения да Винчи являются самыми детальными, правдоподобными и искусно исполненными. Методы, которые использовал художник, изучаются в любом университете художественного искусства.

Человеческое тело – самое достоверное доказательство существования золотого сечения. Не только в математике с помощью формул удается увидеть последовательность. Ее видно невооруженным глазом в чертах лица, в строении тела взрослого или ребенка:

эквивалент роста и центральная точка пупка;
расстояние между кистями рук (кончики пальцев, запястья, кисти до локтей);
размер головы и расстояние от шеи до макушки;
расстояние от центра (пупок) тела до коленей, а от коленных чашечек до ступней;
симметрия частей человеческого лица.

Пропорции различных частей в теле человека являются условным золотым сечением. Физиогномика – новая наука, основанная на старых методах изучения строения человеческого тела, помогает определить судьбу по одним лишь чертам лица или изгибам частей тела. Иметь такие знания, значит, владеть невероятной проницательностью. Понимать окружающих людей, значит, любить их. Еще Аристотель вспоминал о золотом сечений в своих работах. Код равный последовательности цифр, который назван в честь гениального Фибоначчи, помещен в схему. Такая таблица позволяет производить самые сложные расчеты в математике или конструировать сложные здания.

Формула красоты

О золотом сечении говорят, как о формуле идеальной красоты. С детства ребенка учат, что красота и гармония исходит изнутри. Как невидимая и незыблемая сила. Симметрия же тела издавна считалась показателем божественной культуры взрослого или ребенка. О самых красивых людях говорили, что они посланы небесами, божествами. Считалось, что такие люди не столько рождаются, сколько появляются на свет. Современная таблица, учитывающая все пропорции человеческого тела в соответствии с числом ФИ, указывает на вероятные черты идеальной женщины или мужчины.

Симметричны и пропорциональны, такие люди не могут не вызывать любви и восхищения. Красота и безупречность – это только слова. Совершенных людей не бывает. К такому выводу доходят ученые, мыслители и творцы шедевров. К стандарту золотой пропорции дотягиваются единицы, но и у них – творений Бога, найдутся отклонения от формулы сечения. Идеал красоты встречается в природе в виде самых незатейливых формах. Улитка, ушная раковина, семена подсолнуха. Отголоски пропорции Фибоначчи окружают людей изо дня в день. Вот где скрыта истинная красота.

Какие черты человеческого тела считаются максимально пропорциональными? К стандарту красоты причисляются люди с соотношением в размерах:

высоты и ширины лица;
длины носа и точки соединение губ;
расстоянии от точки подбородка к губам и длина всего лица;
ширины рта и ширина губ;
расстоянии от одной ноздри к другой и длина всего носа;
расстоянии между бровями и зрачками.

Стремиться соответствовать правилу золотого сечения неразумно и опасно. Каждый человек – индивидуален, уникален, созданный не по образцу, а как результат миллиона лет эволюции, развития и мутаций. Человек – это венец творения Господа, который ищет ответы на вопросы о собственном происхождении. Пропорции, открытые учеными или математиками, всего-навсего коды, с которыми человек познает не только тело, но и душу.

Отголоски числа ФИ в природе

Вселенная влияет на каждое живое существо на планете. От небесных светил даже океаны меняют собственное движение, а космическая энергия настолько безгранична, что порой пугает людей. Закономерности и пропорции, которые прослеживаются в природе, часто остаются незамеченными человечком.

Сосновая шишка и расположение семян в подсолнухе – наглядный пример золотого сечения. Найти схожие формы удастся в кожуре ананаса, в расположении лепестков роз и форме морских ракушек. Разглядеть чудеса вселенной в простой улитке дано не каждому человеку, не каждому творцу невероятных картин или скульптур.

Заключение

Познание природы вещей ведет личность к самопознанию, без открытий росту человеческой души и сознания не бывать. Тот, кто умеет видеть особенное в привычных вещах тот знает цену жизни и окружающему миру.

Число Фи признано самым красивым во вселенной... Несмотря на мистическое происхождение, число Фи сыграло уникальную роль - роль базового блока в построении всего живого. Все растения, животные, и человеческие существа соответствуют физическим пропорциям, приблизительно равным корню от отношения числа Фи к 1... Число Фи - 1,618. Число Фи получено из последовательности Фибоначчи, математической прогрессии, известной не только тем, что сумма двух соседних чисел в ней равна последующему числу, но и потому, что частное двух соседствующих чисел обладает уникальным свойством - приближенностью к числу 1,618, то есть к числу Фи! Эта вездесущность Фи в природе указывает на связь всех живых существ. Семена подсолнечника располагаются по спиралям, против часовой стрелки и соотношение диаметра каждой из спиралей к диаметру последующей - есть Фи. Спиралеобразно закрученные листья початка кукурузы, расположение листьев на стеблях растений, сегментационные части тел насекомых. И все они в строении своем послушно следуют закону «божественной пропорции». Рисунок Леонардо да Винчи, изображающий обнаженного мужчину в круге. Никто лучше да Винчи не понимал божественной структуры человеческого тела, его строения. Он первым показал, что тело человека состоит из «строительных блоков», соотношение пропорций которых всегда равно нашему заветному числу. Если измерить расстояние от макушки до пола, затем разделить на свой рост, то мы увидим, какое получится число. Именно Фи - 1,618. Математик Фибоначчи жил в двенадцатом столетии (1175г.). Он был одним из самых известных ученых своего времени. Среди его величайших достижений - введение арабских цифр взамен римским. Он открыл суммационную последовательность Фибоначчи. Эта математическая последовательность возникает, когда, начиная с 1, 1, следующее число получается сложением двух предыдущих. Данная последовательность асимптотически стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно. Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,61803398875... и через раз то превосходящая, то не остигающая его. Но, даже затратив на это Вечность, невозможно узнать соотношение точно, до последней десятичной цифры. При делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается просто обратная к 1,618 величина (1:1,618). Но это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку первоначальное соотношение - бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобретательность, мастерство, время и труд архитекторов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была до письменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий. Ключ к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. Площадь треугольника 356 * 440 / 2 = 78320. Площадь квадрата 280 * 280 = 78400. Длина грани пирамиды в Гизе равна 783,3 фута (238,7 м), высота пирамиды - 484,4 фута (147,6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф = 1,618. Высота 484,4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф = 1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1,618 играет центральную роль. Не только египетские пирамиды построены в соответствии с совершенными пропорциями золотого сечения, то же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пирамиды были возведены приблизительно в одно время людьми общего происхождения.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1.Введение

Человек всегда стремился к идеалу везде и во всем. Идеальный дом, идеальная прическа, внешность, статуя, и многое другое. Человек, не задумываясь в таких моментах почти всегда обращается к числу «Фи».

Фибоначи, сам того не зная, сделал открытие, которое влияет на жизнь каждого из нас точно так же, как и воздух, земля и сама природа. Кому-то его открытие кажется бесполезным, кому-то сложным, а кому-то, как и мне прекрасным, но знать о нём должен каждый, ибо зная его человек может создать воистину прекрасные вещи.

2.Цели

Узнать что такое число «Фи».

Узнать кто и как открыл число «Фи».

Узнать что такое «золотое сечение».

Узнать о местах применения «золотого сечения и доказать, является ли оно эталоном красоты

3.Основная часть

3.1 Леонардо Пизанский

Леонардо Пизанский (около 1170-1250) - сын купца, путешествовавший вместе с ним. Гораздо более известен под прозвищем Фибоначи. Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

В трактате «Цветок» (Flos, 1225 год) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение x 3 +2x 2 +10x=20, предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. Фибоначчи работал над поиском чисел, которые, будучи добавленными к квадратному числу, вновь дадут квадратное число. Он отметил, что числа x 2 +y 2 и х 2 -y 2 не могут быть квадратными одновременно, а также использовал для поиска квадратных чисел формулу x 2 +(2x+1)=(x+1) 2 . В одной из задач книги, также первоначально предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.

Среди не дошедших до нас произведений Фибоначчи трактат Di minor guisa по коммерческой арифметике, а также комментарии к книге X «Начал» Евклида.

Он прославился тем, что придумал задачу про размножение кроликов и получил последовательность чисел, которые потом были названы «последовательностью Фибоначи», а соотношение этих чисел равно 1,618 или же числу Фи.

3.2 Задача о кроликах

«Сколько пар кроликов рождается в год от одной пары кроликов, если через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики со второго месяца своего рождения?»

Ниже я составил таблицу для решения задачи:

Из этого можно сделать вывод что последовательность «чисел Фибоначи» есть соотношение двух величин b и a, a > b, когда справедливо a/b = (a+b)/a. А при выполнении данных действий мы получим число Фи. Пример: 144/89=(144+89)/144 = 1,618. И на таблице последний столбик и есть последовательность «чисел Фибоначи».

3.3 Точное значение числа «Фи» (1000 знаков после запятой)

3.4 Интересные математические свойства числа «Фи»

1) Каждое третье число Фибоначчи четно;

2) Каждое четвертое кратно 3;

3) Каждое пятнадцатое оканчивается нулем

Если мы разделим единицу на Ф, то получим число 0,61803… - те же самые десятичные знаки после запятой, что и у числа Ф. 1/Ф = Ф-1 1/1,618 = 0,618

1/Фи = Фи -1

1/1,618 = 0,618

3.5 Идеальная звезда, спираль и прямоугольник

Используя число «Фи» можно составить 3 идеальные фигуры.

Первая - идеальная звезда, в которой отрезки HF и FC, а так же другие стороны треугольников и соответствующие стороны внутреннего пятиугольника относятся как 1/1.618.

Вторая - идеальная спираль, которая образована ¼ окружностей вписанных в квадраты, стороны которых являются последовательностью «чисел Фибоначи» и относятся как 1/1.618.

Третья - идеальны прямоугольник, который состоит из квадрата и прямоугольника и меньшая сторона малого прямоугольника(b) относится к стороне квадрата(a) как 1/1.618, а так же сторона квадрата(a) относится к большей стороне большого прямоугольника(a+b) как 1/1.618.

Все эти идеальные фигуры представляют собой наяву «золотое сечение».

3.6 Число «Фи» или золотое сечение в природе

Число «Фи» Встречается на каждом шагу, но мы не всегда его замечаем.

Несколько примеров:

Семена подсолнуха расположены в виде идеальной спирали (спирали Фибоначи)

Так же число «Фи» есть в обычном курином яйце. По соотношению длин его половин.

Еще несколько примеров:

3.7 Живой пример числа «Фи».

Им является никто иной как человек.

Если вы измерите расстояние от плеча до кончиков пальцев, затем разделите его на расстояние от локтя до тех же кончиков пальцев. Получите число 1.618

Расстояние от верхней части бедра до пола, поделенное на расстояние от колена до пола - это снова число «Фи»

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца = числу «Фи»

Из этого можно сделать вывод, что человек живой пример «божественной пропорции».

4.Выводы и заключение.

Я выполнил все поставленные задачи и благодаря этому узнал:

Что такое число «Фи».

Кто и как открыл число «Фи».

Что такое «золотое сечение».

Узнал о местах применения «золотого сечения и доказать, является ли оно эталоном красоты

Надеюсь своей работой я донес до читателя важность открытия Леонардо Пизанского и его актуальность.

Список литературы и Интернет - ресурсов.

1.https://ru.wikipedia.org

2. «Цветок» (Flos, 1225 год) - Леонардо Пизанский.

3. «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 год) - Леонардо Пизанский.

4. «Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225 год) - Леонардо Пизанский.

Кампосанто (Camposanto monumentale). Пиза

Сегодня я вам уже рассказывал про но вот захотелось мне продолжить эту тему вот таким образом …

Итальянский купец Леонардо из Пизы (1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить.

Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образом связана с развитием европейской культуры и науки.

До эпохи Возрождения было еще далеко, однако история даровала Италии краткий промежуток времени, который вполне можно было назвать репетицией надвигающейся эпохи Ренессанса. Этой репетицией руководил Фридрих II, император Священной Римской империи. Воспитанный в традициях южной Италии Фридрих II был внутренне глубоко далек от европейского христианского рыцарства. Рыцарские турниры Фридрих II совсем не признавал. Вместо этого он культивировал математические соревнования, на которых противники обменивались не ударами, а задачами.

На таких турнирах и заблистал талант Леонардо Фибоначчи. Этому способствовало хорошее образование, которое дал сыну купец Боначчи, взявший его с собой на Восток и приставивший к нему арабских учителей. Встреча между Фибоначчи и Фредериком II произошла в 1225 году и была событием большой важности для города Пизы. Император ехал верхом во главе длинной процессии трубачей, придворных, рыцарей, чиновников и бродячего зверинца животных. Некоторые проблемы, которые Император поставил перед знаменитым математиком, подробно изложены в Книге абака. Фибоначчи, очевидно, решил проблемы, поставленные Императором, и навсегда стал желанным гостем при Королевском дворе.

Когда Фибоначчи перерабатывал Книгу абака в 1228 году, он посвятил исправленную редакцию Фредерику II. Всего он написал три значительных математических труда: Книга абака, опубликованная в 1202 году и переизданная в 1228 году, Практическая геометрия, опубликованная в 1220 году, и Книга квадратур. По этим книгам, превосходящим по своему уровню арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику чуть ли не до времен Декарта. Как указано в документах 1240 года, восхищенные граждане Пизы говорили, что он был «рассудительный и эрудированный человек», а не так давно Жозеф Гиз, главный редактор Британской Энциклопедии заявил, что будущие ученые во все времена «будут отдавать свой долг Леонардо Пизанскому, как одному из величайших интеллектуальных первопроходцев мира».

Задача о кроликах.

Наибольший интерес представляет для нас сочинение «Kнига абака». Эта книга представляет собой объемный труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший значительную роль в развитии математики в Западной Европе в течении нескольких следующих столетий. В частности, именно по этой книге европейцы познакомились с индусскими (арабскими) цифрами.

Материал поясняется на примерах задач, составляющих значительную часть этого тракта.

В данной рукописи, Фибоначчи поместил следующую задачу:

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет др. пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.»

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц — 1+1=2; на 4-й — 2+1=3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц — 3+2=5 пар (лишь 2 родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц — 5+3=8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk, то F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13, F8=21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом: Fn=Fn-1+Fn-2 при всех n>2, ведь число пар кроликов на n-м месяце равно числу Fn-1 пар кроликов на предшествующем месяце плюс число вновь родившихся пар, которое совпадает с числом Fn-2 пар кроликов, родившихся на (n-2)-ом месяце (ибо лишь эти пары кроликов дают потомство).

Числа Fn , образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи.

Особые названия этому соотношению начали давать еще до того, как Лука Пачиоли (средневековый математик) назвал его Божественной пpопоpцией. Kеплеp назвал это соотношение одним из сокровищ геометрии. В алгебре общепринято его обозначение греческой буквой «фи» (Ф=1.618033989…).

Ниже приведены отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее:

1:1 = 1.0000, что меньше фи на 0.6180

2:1 = 2.0000, что больше фи на 0.3820

3:2 = 1.5000, что меньше фи на 0.1180

5:3 = 1.6667, что больше фи на 0.0486

8:5 = 1.6000, что меньше фи на 0.0180

По меpе нашего пpодвижения по суммационной последовательности Фибоначчи каждый новый член будет делить следующий со все большим и большим пpиближением к недостижимому «фи». Kолебания соотношений около значения 1.618 на большую или меньшую величину мы обнаpужим в Волновой теоpии Эллиотта, где они описываются Пpавилом чеpедования. Следует обратить внимание, что в природе встречается именно приближение к числу «фи», тогда как математика оперирует с «чистым» значением. Его ввел Леонардо да Винчи и назвал «золотым сечением» (золотая пропорция). Cpеди его совpеменных названий есть и такие, как «золотое среднее» и «отношение вертящихся квадратов». Золотая пропорция – это деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей части ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ, то есть: АВ:ВС=АС:АВ=Ф (точное иррациональное число «фи»).

Пpи делении любого члена последовательности Фибоначчи на следующий за ним получается обpатная к 1.618 величина (1: 1.618=0.618). Это тоже весьма необычное, даже замечательное явление. Поскольку пеpвоначальное соотношение — бесконечная дробь, у этого соотношения также не должно быть конца.

При делении каждого числа на следующее за ним через одно, получаем число 0.382.

Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов Фибоначчи: 4.235, 2.618 , 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Все они играют особую роль в природе и в частности в техническом анализе.

Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых.

Эти числа, бесспорно, являются частью мистической естественной гармонии, которая приятно осязается, приятно выглядит и даже приятно звучит. Музыка, например, основана на 8-ми нотной октаве. На фортепьяно это представлено 8 белыми клавишами и 5 черными — всего 13.

Более наглядное представление можно получить, изучая спирали в природе и произведениях искусства. Сакральная геометрия исследует два вида спиралей: спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи. Сравнение этих спиралей позволяет сделать следующий вывод. Спираль золотого сечения идеальна: у нет начала и нет конца, она продолжается бесконечно. В отличии от нее спираль Фибоначчи имеет начало. Все природные спирали – это спирали Фибоначчи, а в произведениях искусства используются обе спирали, иногда одновременно.

Математика.

Пентаграмма (пентакль, пятиконечная звезда) — один из часто используемых символов. Пентаграмма – символ совершенного человека, стоящего на двух ногах с разведенными руками. Можно сказать, что человек – живая пентаграмма. Это верно как в физическом, так и в духовном плане – человек обладает пятью добродетелями и проявляет их: любовь, мудрость, истина, справедливость и доброта. Это добродетели Христа, которые можно представить пентаграммой. Эти пять добродетелей, необходимые для развития человека, непосредственно связаны с человеческим организмом: доброта связана с ногами, справедливость — с руками, любовь – со ртом, мудрость – с ушами, глаза – с истиной.

Истина принадлежит духу, любовь — душе, мудрость — интеллекту, доброта – сердцу, справедливость – воде. Существует также соответствие между человеческим организмом и пятью элементами (земля, вода, воздух, огонь и эфир): воля соответствует земле, сердце – воде, интеллект — воздуху, душа — огню, дух — эфиру. Таким образом, своей волей, интеллектом, сердцем, душой, духом человек связан с пятью элементами, работающими в космосе, и он может сознательно работать в гармонии с ним. Именно в этом смысл другого символа – двойной пентаграммы, человек (микрокосм) живет и действует внутри вселенной (микрокосма).

Перевернутая пентаграмма изливает энергию в Землю и, следовательно, является символы материалистических тенденций, тогда как обычная пентаграмма направляет энергию вверх, являясь, таким образом, духовной. В одном все согласны: пентаграмма, безусловно, представляет «духовную форму» человеческой фигуры.

Обратите внимание CF:FH=CH:CF=AC:CH=1,618. Действительные пропорции этого символа основаны на священной пропорции, называемой золотым сечением: это такое положение точки на любой проведенной линии, когда она делит линию так, что меньшая часть находится в том же соотношении к большей части, что и большая часть к целому. Кроме того, правильный пятиугольник в центре позволяет утверждать, что пропорции сохраняются и для бесконечно малых пятиугольников. Эта «божественная пропорция» проявляется в каждом отдельном луче пентаграммы и помогает объяснить тот трепет, с которым математики во все времена взирали на этот символ. Причем, если сторона пятиугольника равна единице, то диагональ равна 1,618.

Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница, а скоpее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Замечательные изобpетательность, мастерство, время и труд аpхитектоpов пирамиды, использованные ими пpи возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим поколениям. Их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.

Ученые обнаружили, что три пирамиды в Гизе выстроены по спирали. В 1980-е годы было установлено, что там присутствуют и золотосеченная спираль и спираль Фибоначчи.

Kлюч к геометро-математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в действительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Площадь тpеугольника
356 x 440 / 2 = 78320
Площадь квадpата
280 x 280 = 78400

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783.3 фута (238.7 м), высота пирамиды -484.4 фута (147.6 м). Длина гpани, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1.618. Высота 484.4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) — это числа из последовательности Фибоначчи.

Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1,618. Cовременные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью — передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1.618 играет центральную роль.

Hе только египетские пиpамиды постpоены в соответствии с совеpшенными пpопоpциями золотого сечения, то же самое явление обнаpужено и у мексиканских пиpамид. Возникает мысль, что как египетские, так и мексиканские пиpамиды были возведены пpиблизительно в одно вpемя людьми общего пpоисхождения.

Биология.

В 19 веке ученые заметили, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. «упакованы» по двойным спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа «правых» и «левых» спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи (13:8, 21:13, 34:21, 55:34). Многочисленные примеры двойных спиралей, встречающихся повсюду в природе, всегда соответствуют этому правилу.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

В любой хорошей книге в качестве примера показывают раковину наутилуса. Причем во многих изданиях сказано, что это спираль золотого сечения, но это неверно – это спираль Фибоначчи. Можно увидеть совершенство рукавов спирали, но если посмотреть на начало, то он не выглядит таким совершенным. Два самых внутренних ее изгиба фактически равны. Второй и третий изгибы чуть ближе приближаются к фи. Потом, наконец, получается эта изящная плавная спираль. Вспомните отношения второго члена к первому, третьего ко второму, четвертого к третьему, и так далее. Будет понятно, что моллюск точно следует математике ряда Фибоначчи.

Числа Фибоначчи проявляются в морфологии различных организмов. Например, морские звезды. Число лучей у них отвечает ряду чисел Фибоначчи и равно 5, 8, 13, 21, 34, 55. У хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов. Число позвонков у многих домашних животных равно 55. Пропорция «фи» проявляется и в человеческом теле.

Друнвало Мелхиседек в книге «Древняя тайна Цветка Жизни» пишет: «Да Винчи вычислил, что, если нарисовать квадрат вокруг тела, потом провести диагональ от ступней до кончиков вытянутых пальцев, а затем провести параллельную горизонтальную линию (вторую из этих параллельных линий) от пупка к стороне квадрата, то эта горизонтальная линия пересечет диагональ точно в пропорции фи, как и вертикальную линию от головы до ступней. Если считать, что пупок находится в той совершенной точке, а не слегка выше для женщин или чуть ниже для мужчин, то это означает, что тело человека поделено в пропорции фи от макушки до ступней… Если бы эти линии были единственными, где в человеческом теле имеется пропорция фи, это, вероятно, было бы только интересным фактом. На самом деле пропорция фи обнаруживается в тысячах мест по всему телу, а это не просто совпадение.

Вот некоторые явственные места в теле человека, где обнаруживается пропорция фи. Длина каждой фаланги пальца находится в пропорции фи к следующей фаланге… Та же пропорция отмечается для всех пальцев рук и ног. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, так же длина плеча относится к длине предплечья. Или отнесите длину голени к длине стопы и длину бедра к длине голени. Пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обычно отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление. Она также обнаруживается в отношениях размеров одних частей тела к другим. Изучая это, все время удивляешься».

Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.

Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты — свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Заключение.

Хотя он и был величайшим математиком средних веков, единственные памятники Фибоначчи — это статуя напротив Пизанской башни через реку Арно и две улицы, которые носят его имя, одна — в Пизе, а другая — во Флоренции.

Если поставить открытую ладонь вертикально перед собой, направив большой палец к лицу, и, начиная с мизинца, последовательно сжимать пальцы в кулак, получится движение, которое есть спираль Фибоначчи.

источники

Литература

1. Энзензбергер Ханс Магнус Дух числа. Математические приключения. – Пер. с англ. – Харьков: Книжный Клуб «Клуб Семейного Досуга», 2004. – 272 с.

2. Энциклопедия символов /сост. В.М. Рошаль. – Москва: АСТ; СПб.; Сова, 2006. – 1007 с.

http://forum.fibo-forex.ru/index.php?showtopic=3805

Что еще интересного из математики могу вам напомнить, ну например вот: , а вот . А вот все таки, и есть еще вот такой Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия -