Системы линейных уравнений. Лекция 6.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Система видa
называется системой - линейных уравнений с неизвестными .
Числа , , называются коэффициентами системы .
Числа , называются свободными членами системы , – переменными системы . Матрица
называется основной матрицей системы , а матрица
– расширенной матрицей системы . Матрицы - столбцы
И - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы . Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде . Решением системы называется значений переменных , при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца . Тогда справедливо матричное равенство .
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.
Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение
Теорема Кронекера – Копелли.
Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными
(1)
Теорема 2 . Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.
Теорема 3 . Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4 . Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Правила решения систем.
3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы.
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
где
,
,
.
Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу
Так как , то получаем , откуда получаем равенство для нахождения неизвестных
Пример
27.
Методом
обратной матрицы решить систему линейных
уравнений
Решение. Обозначим через основную матрицу системы
.
Пусть , тогда решение найдем по формуле .
Вычислим .
Так как , то и система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения
,
,
,
,
,
,
,
,
Таким образом
.
Сделаем проверку
.
Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных .
.
Сравнивая значения матриц, получим ответ: .
Метод Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном виде или
Обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера .
Пример
28.
Решить
методом Крамера следующую систему
линейных уравнений
.
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы
.
Так как , то , система имеет единственное решение.
Найдем остальные определители для формул Крамера
,
,
.
По формулам Крамера находим значения переменных
Метод Гаусса.
Метод заключается в последовательном исключении переменных.
Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
,
где , которой соответствует система
После
этого переменные
считаются свободными и в каждом уравнении
переносятся в правую часть.
На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется в уравнение. Из этого уравнения
выражается
переменная
.
Этот процесс продолжается до первого
уравнения. В результате получается
выражение главных переменных
через
свободные переменные
.
Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду
.
Так
как
больше числа неизвестных, то система
совместна и имеет бесконечное множество
решений. Запишем систему для ступенчатой
матрицы
Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные
Будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть
Из последнего уравнения выражаем
Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим
откуда
.
Подставив значения переменных
и
в первое уравнение, найдем
.
Ответ запишем в следующем виде
Системы линейных алгебраических уравнений
1. Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида
(4.1)
Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел
При подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.
Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.
Например, система уравнений
совместная и определенная, так как имеет единственное решение
; система
несовместная, а система
совместная и неопределенная, так как имеет
более одного решения
.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.
Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть
.
Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):
Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:
С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде или
.(4.2)
2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы
Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы () и , то есть основная матрица системы невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами и . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу :
Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем
Так как , а , тогда
.(4.3)
Убедимся, что найденное значение является решением
исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим 
, откуда имеем .
Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение , которое удовлетворяет равенству
Покажем, что матрица равна матрице
С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу .
В результате получим
Такое решение системы уравнений с неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.
Пример. Найти решение системы
.
Выпишем матрицу системы:
,
Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:
или
Здесь мы вынесли общий множитель , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение .
Ищем решение по формуле: .
3. Правило и формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными
От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.
Учитывая равенство , или в развернутом виде
.
Таким образом, после перемножения матриц получаем:
или
.
Заметим, что сумма есть разложение определителя
по элементам первого столбца, который получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
Таким образом, можно сделать вывод, что
Аналогично: , где получен из путем замены второго
столбца коэффициентов столбцом из свободных членов, 
.
Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам
, , ,
известным и как формулы Крамера.
Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:
.(4.4)
Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:
- по матрице системы вычисляется определитель системы ;
-
если , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется
столбцом свободных членов и вычисляются определители 
получаемых при этом
матриц;
- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).
Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений
Решение. Определитель данной системы
.
Так как , то формулы Крамера имеют смысл, то есть система имеет единственное решение. Находим определители:
, 
, 
.
Следовательно, по формулам (4.4) получаем:
, 
, 
.
Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.
Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.
Критерий совместности СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли)
Расширенной матрицей системы (4.1) называется матрица, получаемая добавлением к основной матрице А справа столбца свободных членов с отделением его вертикальной чертой, то есть матрица
.
Заметим, что при
появлении у матрицы новых столбцов ранг может увеличиться, следовательно 
. Расширенная матрица играет очень важную роль в вопросе совместности
(разрешимости) системы уравнений. Исчерпывающий ответ на этот вопрос дает
теорема Кронекера-Капелли.
Сформулируем теорему Кронекера-Капелли (без доказательства).
Система линейных
алгебраических уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы 
. Если 
– число неизвестных
системы, то система имеет единственное решение, а если 
, то система имеет бесчисленное множество решений.
Опираясь на теорему Кронекера-Капелли, сформулируем алгоритм решения произвольной системы линейных уравнений:
1.
Вычисляют ранги
основной и расширенной матриц СЛАУ. Если 
, то система не имеет решений (несовместна).
2.
Если 
, система совместна. В этом случае берут любой отличный от
нуля минор основной матрицы порядка и рассматривают уравнений, коэффициенты которых входят в этот базисный минор,
а остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные коэффициенты, которые входят в
этот базисный минор, объявляют главными или базисными, а остальные свободными
(неосновными). Новую систему переписывают, оставляя в левых частях уравнений
только члены, содержащие базисных неизвестных, а все остальные члены уравнений, содержащих
неизвестных, переносят
в правые части уравнений.
3. Находят выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные решения новой системы с базисными неизвестными называются общим решением СЛАУ (4.1).
4. Придавая свободным неизвестным некоторые числовые значения, находят так называемые частные решения.
Проиллюстрируем применение теоремы Кронекера-Капелли и вышеприведенного алгоритма на конкретных примерах.
Пример. Определить совместность системы уравнений
Решение. Запишем матрицу системы и определим ее ранг.
Имеем:
Так как матрица имеет порядок , то наивысший порядок миноров равен 3. Число различных миноров третьего порядка Нетрудно убедиться, что все они равны нулю (проверьте самостоятельно). Значит, . Ранг основной матрицы равен двум, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, например,
Ранг расширенной матрицы этой системы равен трем, так как существует отличный минор третьего порядка этой матрицы, например,
Таким образом, согласно критерию Кронекера-Капелли, система несовместна, то есть не имеет решений.
Пример. Исследовать совместность системы уравнений
Решение. Ранг основной матрицы этой системы равен двум, так как, например, минор второго порядка равен
а все миноры третьего порядка основной матрицы равны нулю. Ранг расширенной матрицы также равен двум, например,
а все миноры третьего порядка расширенной матрицы равны нулю (убедиться самостоятельно). Следовательно, система совместна.
Возьмем за базисный минор, например . В этот базисный минор не входят элементы третьего уравнения, поэтому ее отбрасываем.
Неизвестные и объявляем базисными, так как их коэффициенты входят в базисный минор, неизвестную объявляем свободной.
В первых двух
уравнениях члены, содержащие переменную , перенесем в правые части. Тогда получим систему 
Решаем эту систему с помощью формул Крамера.
,
.
Таким образом, общим решением исходной
системы является бесконечное множество наборов вида 
,
где – любое действительное число.
Частным решением данного уравнения будет,
например, набор 
, получающийся при .
4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Одним из наиболее эффективных и универсальных методов решений СЛАУ является метод Гаусса. Метод Гаусса состоит из однотипных циклов, позволяющихпоследовательно исключать неизвестные СЛАУ. Первый цикл направлен на то, чтобы во всех уравнениях, начиная со второго, обнулить все коэффициенты при . Опишем первый цикл. Полагая, что в системе коэффициент (если это не так, то следует на первое место поставить уравнение с отличным от нуля коэффициентом при x 1 и переобозначить коэффициенты), преобразуем систему (4.1) следующим образом: первое уравнение оставляем без изменения, а из всех остальных уравнений исключаем неизвестную x 1 с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, на последнем шаге цикла умножим обе части первого уравнения на и сложим с последним уравнением системы. Первый цикл завершен, в результате получим эквивалентную систему
(4.5)
Замечание. Для удобства записи обычно используют расширенную матрицу системы. После первого цикла данная матрица принимает следующий вид:
(4.6)
Второй цикл является повторением первого цикла. Предположим, что коэффициент . Если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что . Первое и второе уравнение системы (4.5) перепишем в новую систему (в дальнейшем будем оперировать только расширенной матрицей).
Умножим второе уравнение (4.5) или вторую строку матрицы (4.6) на , сложим с третьим уравнением системы (4.5) или третьей строкой матрицы (4.6). Аналогично поступаем с остальными уравнениями системы. В результате получим эквивалентную систему:
(4.7)
Продолжая процесс последовательного исключения неизвестных, после шага, получим расширенную матрицу
(4.8)
Последние
уравнений для совместной системы
(4.1) являются тождествами
. Если хотя бы одно из чисел
не
равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, следовательно, система
(4.1) несовместна. В совместной системе при ее решении последние
уравнений можно не рассматривать.
Тогда полученная эквивалентная система (4.9) и соответствующая расширенная
матрица (4.10) имеют вид
(4.9)
(4.10)
После отбрасывания уравнений, являющихся тождествами, число оставшихся уравнений может быть либо равно числу переменных , либо быть меньше числа переменных. В первом случае матрица имеет треугольный вид, а во втором – ступенчатый. Переход от системы (4.1) к равносильной ей системе (4.9) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из системы (4.9) – обратным ходом.
Пример. Решить систему методом Гаусса:
.
Решение. Расширенная матрица этой системы имеет вид
.
Проведем следующие преобразования расширенной матрицы системы: умножим первую строку на и сложим со второй строкой, а также умножим первую строку на и сложим с третьей строкой. Результатом будет расширенная матрица первого цикла (в дальнейшем все преобразования будем изображать в виде схемы)
.
|
|
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.
Пусть для матрицы А
порядка n
на n
существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X
и В
позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем 
. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как 
, а по определению обратной матрицы (E
– единичная матрица порядка n
на n
), поэтому
Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .
Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.
К началу страницы
Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.
Пример.
С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений 
.
Решение.
В матричной форме исходная система запишется как , где 
. Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем 
, следовательно, для матрицы А
может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.
Мы знаем, что для матрицы 
обратная матрица может быть найдена как 
, где - алгебраические дополнения элементов .
В нашем случае
Тогда
Выполним проверку полученного решения 
, подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ:
или в другой записи 
.
Пример.
Решите СЛАУ матричным методом.
Решение.
Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x 2
, второе –x 1
, третье – x 3
. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как 
. От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ 
. Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :
Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений:
тогда,
Осталось найти решение СЛАУ:
Ответ:
.
При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ 
НЕЛЬЗЯ записать как 
. Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:
или 
Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместоx 1 , x 2 , …, x n
могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ 
в матричной форме запишется как 
.
Разберем пример.
Пример.
с помощью обратной матрицы.
Решение.
Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме 
. Вычислим определитель основной матрицы:
Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как 
. Найдем обратную матрицу по формуле 
:
Получим искомое решение:
Ответ:
x = 0, y = -2, z = 3 .
Пример.
Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений 
матричным методом.
Решение.
Определитель основной матрицы системы равен нулю
поэтому, мы не можем применить матричный метод.
Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.
Пример.
Решите СЛАУ 
матричным методом, - некоторое действительное число.
Решение.
Система уравнений в матричной форме имеет вид 
. Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:
Квадратных трехчлен не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем 
. Построим обратную матрицу по формуле :
Тогда
Ответ:
.К началу страницы
Подведем итог.
Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Пример 1 . Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системыРешение
выполняем с помощью калькулятора . Выпишем расширенную и основную матрицы:
Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x 1 в правую часть уравнений.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.
Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.
Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.
Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 .
Минор 
является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 2 , x 3 , x 4 , значит, неизвестные x 2 , x 3 , x 4 – зависимые, а x 1 , x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 2 , x 3 , x 4 через свободные x 1 и x 5 , то есть нашли общее решение:
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x 1 = x 5 = 0, тогда x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) положим x 1 = 1, x 5 = -1, тогда x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.
Пример 2
. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы
Решение
. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.
Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:
Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:
Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:
Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
Пример 3
. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.
Решение
. Составляем расширенную матрицу системы.
Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:
Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r B > r A .
Задание
. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления .
Решение
Пример
. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса ; 2) методом Крамера . (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Ответ:
2,-1,3.
Пример
. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:
x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение.
Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной .
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 ,x 3 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 ,x 3 – зависимые (базисные), а x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределенной , т.к. имеет более одного решения.
Задание
. Решить систему уравнений.
Ответ
:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной
Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
- Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
- Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
- Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.
Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
- Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
- Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:
- Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
- Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.
И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует